Lernzettel: Stehende Wellen, Licht und Laser

Physik Kursstufe – Klausurvorbereitung

So benutzt du diesen Lernzettel: Jedes Kapitel enthält die Kernaussagen, die Formeln und ein durchgerechnetes Beispiel. Am Ende findest du eine kompakte Formelübersicht, die wichtigsten Konstanten und eine Checkliste zum Selbsttest.

Inhalt

Grundgrößen von Wellen
Interferenz
Stehende Wellen
Reflexion am festen und am losen Ende
Eigenschwingungen einer Saite
Stehende Schallwellen im Rohr – Kundt'sches Rohr
Welle im Kasten – das gemeinsame Prinzip
Hertzscher Dipol
Elektromagnetisches Spektrum
Photonen: Energie von Lichtquanten
Das Wasserstoffspektrum
Absorption und Emission
Der Drei-Niveau-Laser
Eigenschaften von Laserlicht
Laserlicht am Doppelspalt
Formelübersicht, Konstanten, Checkliste

1 Grundgrößen von Wellen

Eine Welle ist eine sich im Raum ausbreitende Schwingung. Sie transportiert Energie, aber keine Materie.

Transversalwelle: Schwingungsrichtung senkrecht zur Ausbreitungsrichtung (Seil, Saite, elektromagnetische Wellen).
Longitudinalwelle: Schwingungsrichtung parallel zur Ausbreitungsrichtung (Schall in Luft).

Größe	Zeichen	Einheit	Bedeutung
Wellenlänge	$\lambda$	m	Abstand zweier benachbarter Punkte gleicher Phase
Periodendauer	$T$	s	Dauer einer vollständigen Schwingung
Frequenz	$f = 1/T$	Hz = 1/s	Anzahl der Schwingungen pro Sekunde
Ausbreitungsgeschwindigkeit	$c$	m/s	Geschwindigkeit, mit der sich die Welle ausbreitet
Amplitude	$\hat{s}$	m	maximale Auslenkung

c = \lambda \cdot f

Merke: Geht eine Welle in ein anderes Medium über, bleibt die Frequenz $f$ gleich. Ausbreitungsgeschwindigkeit $c$ und Wellenlänge $\lambda$ ändern sich.

2 Interferenz

Superpositionsprinzip: Treffen Wellen aufeinander, addieren sich ihre Auslenkungen an jedem Ort. Anschließend laufen die Wellen ungestört weiter.

Entscheidend ist der Gangunterschied $\Delta s$ , also der Unterschied der Wegstrecken, die zwei Wellen bis zu einem Punkt zurücklegen.

Interferenz	Bedingung	Ergebnis
konstruktiv	$\Delta s = k \cdot \lambda \quad (k = 0, 1, 2, \dots)$	Wellen gleichphasig → Verstärkung
destruktiv	$\Delta s = (2k+1) \cdot \dfrac{\lambda}{2} \quad (k = 0, 1, 2, \dots)$	Wellen gegenphasig → Auslöschung

Voraussetzung: Nur kohärente Wellen erzeugen ein stabiles Interferenzmuster. Kohärent heißt: gleiche Frequenz und eine zeitlich feste Phasenbeziehung.

3 Stehende Wellen

Entstehung: Zwei Wellen mit gleicher Frequenz und gleicher Amplitude laufen einander entgegen. Meist ist das eine Welle und ihre eigene Reflexion. Durch Interferenz entsteht eine stehende Welle.

Knoten (K): Orte, die ständig in Ruhe sind (dort herrscht immer destruktive Interferenz).
Bäuche (B): Orte mit maximaler Amplitude $2\hat{s}$ .

\text{Abstand K–K} = \text{Abstand B–B} = \frac{\lambda}{2} \qquad \text{Abstand K–B} = \frac{\lambda}{4}

	laufende Welle	stehende Welle
Amplitude	überall gleich ( $\hat{s}$ )	ortsabhängig: 0 im Knoten, $2\hat{s}$ im Bauch
Phase	wandert mit der Welle	zwischen zwei Knoten schwingen alle Punkte gleichphasig, benachbarte Abschnitte gegenphasig
Energietransport	ja	nein (Energie pendelt nur hin und her)
Momentaufnahme	Wellenberge wandern	Form „pulsiert“ auf der Stelle, Knoten bleiben fest

Zur Vertiefung: Für eine nach rechts und eine nach links laufende Welle gilt

s_1 = \hat{s}\sin(\omega t - kx), \quad s_2 = \hat{s}\sin(\omega t + kx)

mit $k = 2\pi/\lambda$ und $\omega = 2\pi f$ . Der Ort bestimmt die Amplitude, die Zeit die Schwingung.

Überlagerung mehrerer stehender Wellen: Eine reale Saite schwingt meist gleichzeitig in der Grundschwingung und in mehreren Oberschwingungen. Diese stehenden Wellen überlagern sich. Die Grundschwingung bestimmt die Tonhöhe, die Mischung der Oberschwingungen die Klangfarbe.

4 Reflexion am festen und am losen Ende

	festes Ende	loses Ende
Beispiele	Saite am Steg, Seil an der Wand, Luftsäule am geschlossenen Rohrende	freies Seilende, Luftsäule am offenen Rohrende
Reflexion	mit Phasensprung um $\lambda/2$ : Ein Wellenberg kommt als Wellental zurück	ohne Phasensprung: Ein Wellenberg kommt als Wellenberg zurück
am Ende entsteht	Knoten	Bauch

Merkregel: Festes Ende → Knoten. Loses Ende → Bauch.

5 Eigenschwingungen einer Saite (z. B. Gitarrensaite)

Eine Saite ist an beiden Enden fest eingespannt. Deshalb liegen an beiden Enden Knoten. Es sind nur stehende Wellen möglich, bei denen eine ganze Zahl halber Wellenlängen auf die Saite passt:

L = n \cdot \frac{\lambda_n}{2} \qquad\Rightarrow\qquad \lambda_n = \frac{2L}{n} \qquad\Rightarrow\qquad f_n = \frac{c}{\lambda_n} = n \cdot \frac{c}{2L} = n \cdot f_1 \qquad (n = 1, 2, 3, \dots)

Abb. 1: Eigenschwingungen einer beidseitig eingespannten Saite

$n = 1$ : Grundschwingung (Grundton), $f_1 = \dfrac{c}{2L}$
$n = 2, 3, \dots$ : Oberschwingungen (Obertöne). Ihre Frequenzen sind ganzzahlige Vielfache der Grundfrequenz.
$c$ ist hier die Ausbreitungsgeschwindigkeit der Welle auf der Saite, nicht die Schallgeschwindigkeit in Luft.

So ändert man die Tonhöhe:

Saite kürzer machen (Finger auf einen Bund) → $L$ kleiner → $f$ größer → höherer Ton.
Saite stärker spannen → $c$ größer → höherer Ton.
Dickere, schwerere Saite → $c$ kleiner → tieferer Ton.

Rechenbeispiel: Die tiefe E-Saite einer Gitarre hat eine schwingende Länge von $L = 0{,}648\ \text{m}$ und einen Grundton von $f_1 = 82{,}4\ \text{Hz}$ .

Wellenlänge der Grundschwingung: $\lambda_1 = 2L = 1{,}296\ \text{m}$
Ausbreitungsgeschwindigkeit auf der Saite: $c = \lambda_1 \cdot f_1 = 1{,}296\ \text{m} \cdot 82{,}4\ \text{Hz} \approx 107\ \text{m/s}$
1. Oberschwingung: $f_2 = 2 \cdot f_1 = 164{,}8\ \text{Hz}$ , $\lambda_2 = L = 0{,}648\ \text{m}$

6 Stehende Schallwellen im Rohr – Kundt'sches Rohr

Schall in Luft ist eine Longitudinalwelle. Wir beschreiben sie über die Schnelle, also die Schwingungsbewegung der Luftteilchen:

geschlossenes Ende = festes Ende → Schnelleknoten (die Luft kann sich an der Wand nicht bewegen)
offenes Ende = loses Ende → Schnellebauch
Wo die Luftteilchen ruhen (Schnelleknoten), schwankt der Druck am stärksten (Druckbauch). Am Schnellebauch liegt ein Druckknoten.

Das Kundt'sche Rohr: Ein waagerechtes Glasrohr enthält ein feines, leichtes Pulver (z. B. Korkmehl). Ein Lautsprecher regt die Luftsäule an. Bei passender Frequenz bildet sich eine stehende Welle. Das Pulver wird an den Schnellebäuchen aufgewirbelt und sammelt sich in den Schnelleknoten. Der Abstand zweier benachbarter Pulverhäufchen beträgt $\lambda/2$ . Damit lässt sich die Schallgeschwindigkeit bestimmen: $c = \lambda \cdot f$ .

Rohrtyp	Enden	Bedingung	Eigenfrequenzen	mögliche Töne
beidseitig offen	B … B	$L = n \cdot \dfrac{\lambda}{2}$	$f_n = n \cdot \dfrac{c}{2L}$	alle Vielfachen von $f_1$
beidseitig geschlossen	K … K	$L = n \cdot \dfrac{\lambda}{2}$	$f_n = n \cdot \dfrac{c}{2L}$	alle Vielfachen von $f_1$
einseitig geschlossen	K … B	$L = (2n-1) \cdot \dfrac{\lambda}{4}$	$f_n = (2n-1) \cdot \dfrac{c}{4L}$	nur ungerade Vielfache von $f_1$

( $n = 1, 2, 3, \dots$ ; $c$ = Schallgeschwindigkeit in Luft, bei 20 °C etwa $343\ \text{m/s}$ )

Abb. 2: Stehende Schallwellen in offenen und einseitig geschlossenen Rohren

Zeichnerische Lösung – Schritt für Schritt

Enden prüfen: Am geschlossenen Ende ein K eintragen, am offenen Ende ein B.
Bausteine kennen: Zwischen einem Knoten und dem nächsten Bauch liegt immer genau $\lambda/4$ . Zwischen zwei Knoten (oder zwei Bäuchen) liegt $\lambda/2$ .
Grundschwingung: Die Rohrlänge mit möglichst wenigen Abschnitten füllen, sodass K und B immer abwechseln und beide Enden stimmen.
Oberschwingungen: Jeweils ein weiteres Knoten-Bauch-Paar einfügen. Die Enden bleiben dabei unverändert.
Hüllkurven zeichnen: Zwischen den markierten Punkten Sinusbögen einzeichnen (durchgezogen und gestrichelt gespiegelt). Knoten sind die Schnittpunkte, Bäuche die Stellen größter Öffnung.
Ablesen: Die Viertelwellenlängen im Rohr abzählen. Daraus $\lambda$ bestimmen und mit $f = c/\lambda$ die Frequenz berechnen.

Rechenbeispiel: Ein Rohr der Länge $L = 0{,}50\ \text{m}$ ist an einem Ende geschlossen ( $c = 343\ \text{m/s}$ ).

Grundschwingung: $L = \lambda_1/4 \Rightarrow \lambda_1 = 2{,}0\ \text{m}$ , $f_1 = \dfrac{343\ \text{m/s}}{2{,}0\ \text{m}} \approx 172\ \text{Hz}$
nächste Eigenschwingung: $L = 3\lambda/4 \Rightarrow \lambda = 0{,}67\ \text{m}$ , $f = 3 \cdot f_1 \approx 515\ \text{Hz}$
Ein gleich langes offenes Rohr hätte $f_1 = \dfrac{c}{2L} \approx 343\ \text{Hz}$ .

7 Welle im Kasten – das gemeinsame Prinzip

Wird eine Welle zwischen zwei Begrenzungen „eingesperrt“, läuft sie hin und her und überlagert sich mit sich selbst. Nur bestimmte Wellenlängen ergeben eine stabile stehende Welle. Das sind die Eigenschwingungen (Resonanzen) des Kastens. Welche Wellenlängen möglich sind, legen die Randbedingungen fest, also was an den Wänden sein muss (Knoten oder Bauch).

Für zwei gleichartige Wände (K–K oder B–B) gilt immer:

L = n \cdot \frac{\lambda}{2} \qquad\Rightarrow\qquad \lambda_n = \frac{2L}{n}

System	Welle	Ränder	Bedingung
Gitarrensaite	Querwelle auf der Saite	K – K	$L = n \cdot \lambda/2$
offenes Rohr	Schallwelle	B – B	$L = n \cdot \lambda/2$
einseitig geschlossenes Rohr	Schallwelle	K – B	$L = (2n-1) \cdot \lambda/4$
Hertzscher Dipol	Stromwelle im Leiter	Strom: K – K	Grundschwingung $L = \lambda/2$
Laser-Resonator	Lichtwelle zwischen zwei Spiegeln	K – K	$L = m \cdot \lambda/2$ ( $m$ sehr groß)

Merke: Je kleiner der Kasten, desto kleiner die möglichen Wellenlängen und desto höher die Frequenzen.

8 Hertzscher Dipol

Der Hertzsche Dipol ist ein gerader Metallstab, in dem elektrische Ladungen hin- und herschwingen. Er ist der Grundbaustein jeder Antenne und zeigt, wie elektromagnetische Wellen entstehen.

Stehende Welle im Dipol

Der Stab wird in der Mitte periodisch angeregt. Stromwellen laufen zu den Enden und werden dort reflektiert.
An den Enden kann kein Strom weiterfließen. Dort liegt also ein Stromknoten.
Es entsteht eine stehende Welle im Leiter. Die Grundschwingung passt genau als halbe Wellenlänge auf den Stab:

L = \frac{\lambda}{2} \qquad\Rightarrow\qquad f = \frac{c}{2L} \qquad (c = 3{,}00 \cdot 10^8\ \text{m/s})

Abb. 3: Strom- und Ladungsverteilung im Hertzschen Dipol

	Mitte des Dipols	Enden des Dipols
Stromstärke $I$	Bauch	Knoten
Ladung, Spannung $U$	Knoten	Bäuche (entgegengesetzt geladen)

Strom und Ladung sind zeitlich um $T/4$ versetzt:

Sind die Enden maximal aufgeladen, fließt gerade kein Strom. Die Energie steckt im elektrischen Feld zwischen den Stabhälften.
Eine Viertelperiode später fließt der Strom maximal. Die Energie steckt im magnetischen Feld, das ringförmig um den Stab verläuft.

Wie entsteht die elektromagnetische Welle?

Die Ladungen im Dipol werden ständig beschleunigt und abgebremst. Elektrisches und magnetisches Feld ändern sich dadurch periodisch.
Ein sich änderndes elektrisches Feld erzeugt ein magnetisches Feld, und ein sich änderndes magnetisches Feld erzeugt ein elektrisches Feld. Die Felder halten sich gegenseitig aufrecht.
Die Feldlinien des elektrischen Feldes schnüren sich vom Dipol ab und bilden geschlossene Schleifen. Diese Felder lösen sich vom Stab und breiten sich mit Lichtgeschwindigkeit $c$ in den Raum aus.

Eigenschaften der abgestrahlten Welle (im Fernfeld)

$\vec{E} \perp \vec{B}$ , und beide stehen senkrecht zur Ausbreitungsrichtung: Die Welle ist transversal.
$\vec{E}$ und $\vec{B}$ schwingen in Phase.
$\vec{E}$ schwingt parallel zum Dipol: Die Welle ist linear polarisiert.
Am stärksten strahlt der Dipol senkrecht zu seiner Achse. In Richtung der Stabachse strahlt er nicht.
Nachweis: Ein gleich langer Empfangsdipol mit Glühlämpchen leuchtet am hellsten, wenn er parallel zum Sendedipol steht. Dreht man ihn um 90°, verschwindet der Empfang.

Rechenbeispiel: Ein Dipol soll Wellen mit $f = 100\ \text{MHz}$ abstrahlen. $\lambda = \dfrac{c}{f} = \dfrac{3{,}00 \cdot 10^8\ \text{m/s}}{1{,}00 \cdot 10^8\ \text{Hz}} = 3{,}00\ \text{m}$ , also $L = \lambda/2 = 1{,}50\ \text{m}$ .

9 Elektromagnetisches Spektrum

Alle elektromagnetischen Wellen breiten sich im Vakuum mit $c = 3{,}00 \cdot 10^8\ \text{m/s}$ aus. Sie unterscheiden sich nur in Wellenlänge und Frequenz und damit in der Energie ihrer Photonen.

Abb. 4: Das elektromagnetische Spektrum mit dem sichtbaren Bereich

Bereich	Wellenlänge (ca.)	Beispiele
Radiowellen	über 1 m	Rundfunk, Hertzscher Dipol
Mikrowellen	1 mm – 1 m	Mikrowellenherd, WLAN, Radar
Infrarot (IR)	700 nm – 1 mm	Wärmestrahlung, Fernbedienung
sichtbares Licht	400 nm – 700 nm	Farben von Violett bis Rot
Ultraviolett (UV)	10 nm – 400 nm	Sonnenbrand, Desinfektion
Röntgenstrahlung	10 pm – 10 nm	medizinische Durchleuchtung
Gammastrahlung	unter 10 pm	radioaktiver Zerfall

Sichtbares Licht (Richtwerte):

Farbe	violett	blau	grün	gelb	orange	rot
$\lambda$ in nm	400 – 450	450 – 490	490 – 570	570 – 590	590 – 620	620 – 700

Merke: Kurze Wellenlänge bedeutet hohe Frequenz und energiereiche Photonen. Violettes Licht ist energiereicher als rotes, UV energiereicher als sichtbares Licht.

10 Photonen: Energie von Lichtquanten

Licht gibt Energie nicht beliebig, sondern nur in festen Portionen ab: den Photonen (Lichtquanten). Die Energie eines Photons hängt nur von der Frequenz ab:

E = h \cdot f = \frac{h \cdot c}{\lambda}

$h = 6{,}626 \cdot 10^{-34}{J·s}$ (Plancksches Wirkungsquantum)
Elektronenvolt: $1\ \text{eV} = 1{,}602 \cdot 10^{-19}\ \text{J}$

	400 nm (violett)	700 nm (rot)
Photonenenergie	$\approx 3{,}1\ \text{eV}$	$\approx 1{,}8\ \text{eV}$

Rechenbeispiel: Ein grüner Laser hat $\lambda = 532\ \text{nm}$ . $E = \dfrac{h \cdot c}{\lambda} = \dfrac{6{,}626 \cdot 10^{-34}{J·s} \cdot 3{,}00 \cdot 10^8\ \text{m/s}}{532 \cdot 10^{-9}\ \text{m}} \approx 3{,}74 \cdot 10^{-19}\ \text{J} \approx 2{,}33\ \text{eV}$

11 Das Wasserstoffspektrum

Das Elektron im Wasserstoffatom kann nur bestimmte Energien annehmen, die Energieniveaus:

E_n = -\frac{13{,}6\ \text{eV}}{n^2} \qquad (n = 1, 2, 3, \dots)

$n$	1	2	3	4	5	6	∞
$E_n$ in eV	−13,6	−3,40	−1,51	−0,85	−0,54	−0,38	0

$n = 1$ ist der Grundzustand, höhere $n$ sind angeregte Zustände.
Das negative Vorzeichen bedeutet: Das Elektron ist gebunden. Bei $E = 0$ ist es frei.
Ionisierungsenergie aus dem Grundzustand: $13{,}6\ \text{eV}$ .

Übergang von einem höheren Niveau $n_o$ auf ein tieferes Niveau $n_u$ : Die Energiedifferenz wird als ein Photon abgegeben.

\Delta E = E_{n_o} - E_{n_u} = 13{,}6\ \text{eV} \cdot \left( \frac{1}{n_u^2} - \frac{1}{n_o^2} \right) = h \cdot f = \frac{h \cdot c}{\lambda}

Abb. 5: Energieniveaus und Spektralserien des Wasserstoffatoms

Endniveau	Bereich	Beispiel
$n_u = 1$	Ultraviolett	2 → 1: 10,2 eV, 122 nm
$n_u = 2$	sichtbar (4 Linien)	3 → 2: 656 nm (rot)
$n_u = 3$	Infrarot	4 → 3: 1875 nm

Rechenweg für eine Spektrallinie:

Energien der beiden Niveaus berechnen.
$\Delta E = E_{\text{oben}} - E_{\text{unten}}$ bilden (positiver Wert).
In Joule umrechnen: $\Delta E\ \text{in J} = \Delta E\ \text{in eV} \cdot 1{,}602 \cdot 10^{-19}$
$f = \Delta E / h$ und $\lambda = c / f$ berechnen (oder direkt $\lambda = h \cdot c / \Delta E$ ).

Rechenbeispiel (4 → 2): $\Delta E = -0{,}85\ \text{eV} - (-3{,}40\ \text{eV}) = 2{,}55\ \text{eV} = 4{,}09 \cdot 10^{-19}\ \text{J}$ $\lambda = \dfrac{h \cdot c}{\Delta E} = \dfrac{6{,}626 \cdot 10^{-34} \cdot 3{,}00 \cdot 10^8}{4{,}09 \cdot 10^{-19}}\ \text{m} \approx 487\ \text{nm}$ (mit $c = 2{,}998 \cdot 10^8$ m/s genau 486 nm) → blaugrüne Linie, sichtbar.

12 Absorption und Emission

Absorption: Ein Photon wird nur dann absorbiert, wenn seine Energie genau einer Energiedifferenz im Atom entspricht ( $h \cdot f = E_o - E_u$ ). Das Elektron springt dann auf das höhere Niveau. Fällt weißes Licht durch Wasserstoffgas, fehlen im Spektrum genau diese Wellenlängen: Es entstehen dunkle Absorptionslinien, und zwar an denselben Stellen wie die hellen Emissionslinien. (Ausnahme: Photonen mit mehr als der Ionisierungsenergie können das Elektron ganz herauslösen.)

Spontane Emission: Ein angeregtes Atom fällt nach kurzer Zeit (typisch etwa $10^{-8}\ \text{s}$ ) von selbst in ein tieferes Niveau zurück und sendet dabei ein Photon aus. Richtung und Phase des Photons sind zufällig. So leuchten Glühlampen, Leuchtstoffröhren und Gasentladungen.

Stimulierte (induzierte) Emission: Ein Photon mit genau der passenden Energie $h \cdot f = E_2 - E_1$ trifft auf ein bereits angeregtes Atom. Es löst dabei die Emission eines zweiten, identischen Photons aus. Das auslösende Photon wird nicht absorbiert, sondern fliegt weiter.

	spontane Emission	stimulierte Emission
Auslöser	zufällig, von selbst	eintreffendes Photon passender Energie
Ergebnis	1 Photon	2 Photonen (auslösendes + neues)
Richtung, Phase, Polarisation	zufällig	identisch mit dem auslösenden Photon
Licht	inkohärent (Lampe)	kohärent, verstärkt (Laser)

13 Der Drei-Niveau-Laser

LASER = Light Amplification by Stimulated Emission of Radiation, also Lichtverstärkung durch stimulierte Emission.

Das Problem: Normalerweise sind fast alle Atome im Grundzustand. Ein Photon wird dann viel eher absorbiert, als dass es eine stimulierte Emission auslöst. Für eine Verstärkung müssen mehr Atome im angeregten Zustand als im Grundzustand sein. Das nennt man Besetzungsinversion. Mit nur zwei Niveaus ist sie nicht erreichbar, weil Pumpen und stimulierte Emission sich dann die Waage halten.

Abb. 6: Drei-Niveau-Schema und Aufbau eines Laser-Resonators

Ablauf im Drei-Niveau-Laser

Pumpen ( $E_1 \to E_3$ ): Energie wird von außen zugeführt, z. B. durch eine Blitzlampe. Die Atome werden vom Grundzustand $E_1$ auf das Pumpniveau $E_3$ angehoben.
Strahlungsloser Übergang ( $E_3 \to E_2$ ): $E_3$ ist sehr kurzlebig. Die Atome gehen sehr schnell und ohne Lichtaussendung auf $E_2$ über. Die Energiedifferenz wird als Wärme an das Material abgegeben.
Besetzungsinversion: $E_2$ ist metastabil, also vergleichsweise langlebig (etwa Millisekunden). Die Atome sammeln sich dort an. Ist mehr als die Hälfte der Atome in $E_2$ , gilt $N_2 > N_1$ .
Stimulierte Emission ( $E_2 \to E_1$ ): Ein zufällig spontan ausgesandtes Photon mit $h \cdot f = E_2 - E_1$ löst bei anderen angeregten Atomen stimulierte Emission aus. Es entsteht eine Lawine identischer Photonen. Das ist das Laserlicht.

Merke: Die Pumpenergie $E_3 - E_1$ ist größer als die Energie der Laserphotonen $E_2 - E_1$ . Laserlicht ist deshalb immer langwelliger als das Pumplicht.

Der Resonator

Das aktive Medium liegt zwischen zwei parallelen Spiegeln.
Ein Spiegel reflektiert fast 100 %. Der andere ist teildurchlässig (z. B. 98 % Reflexion). Durch ihn tritt ein kleiner Teil des Lichts als Laserstrahl aus.
Das Licht läuft viele Male hin und her und wird bei jedem Durchgang durch stimulierte Emission weiter verstärkt.
Nur Photonen, die genau entlang der Achse laufen, bleiben im Resonator und werden verstärkt. Schräg laufende Photonen verlassen das Medium seitlich. Das erklärt die starke Bündelung.
Im Resonator bildet sich eine stehende Lichtwelle mit Knoten an den Spiegeln.

Beispiel: Der Rubinlaser (erster Laser, 1960) ist ein Drei-Niveau-Laser. Er wird mit grünem und blauem Licht einer Blitzlampe gepumpt und strahlt rotes Licht mit $\lambda = 694\ \text{nm}$ aus.

14 Eigenschaften von Laserlicht

Eigenschaft	Bedeutung	Ursache
monochromatisch	Nur eine einzige, sehr scharf definierte Wellenlänge (Farbe)	Alle Photonen stammen aus demselben Übergang $E_2 \to E_1$ , und der Resonator verstärkt nur passende Wellenlängen
kohärent	Alle Wellenzüge haben eine feste Phasenbeziehung, räumlich und zeitlich	Stimulierte Emission erzeugt Photonen mit identischer Phase
stark gebündelt	Sehr geringe Aufweitung des Strahls	Nur achsenparallele Photonen werden im Resonator verstärkt
hohe Intensität	Viel Leistung auf kleiner Fläche	Bündelung und Verstärkung

Sicherheit: Nie in einen Laserstrahl oder seine Reflexion blicken. Auch schwache Laser können die Netzhaut schädigen.

15 Laserlicht am Doppelspalt

Aufbau

Laserlicht fällt auf zwei schmale Spalte im Abstand $g$ . Auf einem Schirm im Abstand $e$ entsteht ein Muster aus hellen und dunklen Streifen.

Abb. 7: Geometrie am Doppelspalt mit Gangunterschied und Intensitätsverteilung

Qualitative Herleitung

Huygens-Prinzip: Jeder Spalt wirkt als Ausgangspunkt einer neuen Kreiswelle (Elementarwelle).
Kohärenz: Beide Spalte werden von derselben Laserwellenfront getroffen. Die beiden Elementarwellen starten daher gleichphasig.
Gangunterschied: Zu einem Punkt P auf dem Schirm legen die beiden Wellen verschieden lange Wege zurück. Der Wegunterschied ist der Gangunterschied $\Delta s$ .
Interferenz: Ist $\Delta s$ ein ganzzahliges Vielfaches von $\lambda$ , treffen Berg auf Berg: heller Streifen (Maximum). Ist $\Delta s$ ein ungeradzahliges Vielfaches von $\lambda/2$ , trifft Berg auf Tal: dunkler Streifen (Minimum).
In der Mitte ist $\Delta s = 0$ . Dort liegt immer das helle Hauptmaximum ( $k = 0$ ). Nach außen folgen abwechselnd Minima und Maxima, symmetrisch zu beiden Seiten.

Formeln

Da der Schirm weit entfernt ist ( $e \gg g$ ), laufen beide Strahlen praktisch parallel.

Für den Winkel zum $k$ -ten Maximum gilt am Schirm: $\tan\alpha_k = \dfrac{d_k}{e}$ ( $d_k$ = Abstand des $k$ -ten Maximums von der Mitte).

Kleinwinkelnäherung: Für kleine Winkel (etwa $\alpha < 5°$ ) gilt:

\frac{d_k}{e} = \frac{k \cdot \lambda}{g} \qquad\Rightarrow\qquad d_k = \frac{k \cdot \lambda \cdot e}{g} \qquad\text{bzw.}\qquad \lambda = \frac{d_k \cdot g}{k \cdot e}

Merke: Größere Wellenlänge → Streifen weiter auseinander. Größerer Spaltabstand $g$ → Streifen enger zusammen. Größerer Schirmabstand $e$ → Streifen weiter auseinander.

Rechenbeispiel: Ein roter Laser ( $\lambda = 650\ \text{nm}$ ) beleuchtet einen Doppelspalt mit $g = 0{,}25\ \text{mm}$ . Der Schirm steht $e = 3{,}00\ \text{m}$ entfernt. $\Delta d = \dfrac{\lambda \cdot e}{g} = \dfrac{650 \cdot 10^{-9}\ \text{m} \cdot 3{,}00\ \text{m}}{0{,}25 \cdot 10^{-3}\ \text{m}} = 7{,}8 \cdot 10^{-3}\ \text{m} = 7{,}8\ \text{mm}$ Das 2. Maximum liegt also $d_2 = 15{,}6\ \text{mm}$ von der Mitte entfernt. (Kontrolle: $\alpha \approx 0{,}3°$ , die Kleinwinkelnäherung ist erfüllt.)

Warum Laserlicht?

Kohärent: Nur mit fester Phasenbeziehung zwischen beiden Spalten entsteht ein stabiles, gut sichtbares Muster.
Monochromatisch: Bei nur einer Wellenlänge liegen alle Maxima an genau einer Stelle. Mit weißem Licht entstehen farbige, verschwimmende Streifen, weil jede Farbe ihre Maxima an einer anderen Stelle hat.
Hohe Intensität und Bündelung: Das Muster ist auch auf einem weit entfernten Schirm hell genug.

16 Formelübersicht

Thema	Formel
Wellengleichung	$c = \lambda \cdot f$ , $\quad f = 1/T$
Saite (fest–fest)	$L = n \cdot \dfrac{\lambda}{2}$
Rohr offen–offen / geschlossen–geschlossen	$L = n \cdot \dfrac{\lambda}{2}$
Rohr einseitig geschlossen	$L = (2n-1) \cdot \dfrac{\lambda}{4}$
Hertzscher Dipol (Grundschwingung)	$L = \dfrac{\lambda}{2}$
Photonenenergie	$E = h \cdot f = \dfrac{h \cdot c}{\lambda}$
Wasserstoff: Energieniveaus	$E_n = -\dfrac{13{,}6\ \text{eV}}{n^2}$
Laser	$h \cdot f_{\text{Laser}} = E_2 - E_1$
Interferenz	konstruktiv: $\Delta s = k \cdot \lambda$ , $\quad$ destruktiv: $\Delta s = (2k+1) \cdot \dfrac{\lambda}{2}$
Doppelspalt (Kleinwinkel)	$d_k = \dfrac{k \cdot \lambda \cdot e}{g}$ , $\quad \lambda = \dfrac{d_k \cdot g}{k \cdot e}$

Konstanten

Größe	Wert
Lichtgeschwindigkeit im Vakuum	$c = 2{,}998 \cdot 10^8\ \text{m/s} \approx 3{,}00 \cdot 10^8\ \text{m/s}$
Plancksches Wirkungsquantum	$h = 6{,}626 \cdot 10^{-34}{J·s} = 4{,}136 \cdot 10^{-15}{eV·s}$
Elementarladung	$e = 1{,}602 \cdot 10^{-19}\ \text{C}$
Elektronenvolt	$1\ \text{eV} = 1{,}602 \cdot 10^{-19}\ \text{J}$
Schallgeschwindigkeit in Luft	$c \approx 343\ \text{m/s}$

Achtung, Verwechslungsgefahr: Der Buchstabe $e$ steht in der Atomphysik für die Elementarladung, beim Doppelspalt für den Schirmabstand. $c$ ist je nach Aufgabe die Lichtgeschwindigkeit, die Schallgeschwindigkeit oder die Wellengeschwindigkeit auf einer Saite. Immer prüfen, welche Welle gemeint ist.

Checkliste: Kann ich …

erklären, wie eine stehende Welle aus zwei gegenläufigen Wellen entsteht?
laufende und stehende Wellen in mindestens drei Punkten unterscheiden?
sagen, was am festen und am losen Ende passiert (Phasensprung, Knoten oder Bauch)?
Eigenfrequenzen einer Saite berechnen und erklären, wie man die Tonhöhe ändert?
für ein offenes und ein einseitig geschlossenes Rohr die stehenden Wellen zeichnen und Knoten und Bäuche eintragen?
erklären, wie man mit dem Kundt'schen Rohr die Schallgeschwindigkeit bestimmt?
begründen, warum in einem „Kasten“ nur bestimmte Wellenlängen möglich sind?
Strom- und Ladungsverteilung im Hertzschen Dipol skizzieren und die Länge zu einer Frequenz berechnen?
erklären, wie sich eine elektromagnetische Welle vom Dipol ablöst, und ihre Eigenschaften nennen?
die Bereiche des elektromagnetischen Spektrums ordnen und den sichtbaren Bereich angeben?
mit $E = h \cdot f$ zwischen Wellenlänge, Frequenz und Photonenenergie umrechnen (in J und eV)?
Energieniveaus des Wasserstoffatoms berechnen und die Wellenlänge eines Übergangs bestimmen?
Absorption, spontane und stimulierte Emission unterscheiden?
das Funktionsprinzip des Drei-Niveau-Lasers mit allen Fachbegriffen erklären (Pumpen, strahlungsloser Übergang, metastabil, Besetzungsinversion, stimulierte Emission, Resonator, teildurchlässiger Spiegel)?
die Eigenschaften monochromatisch und kohärent erklären und begründen?
das Interferenzmuster am Doppelspalt qualitativ herleiten?
mit der Kleinwinkelnäherung Wellenlängen und Streifenabstände berechnen und prüfen, ob die Näherung erlaubt ist?